«Αριθμός άπειρος πλήθει »
Πλάτων ( 427-347 π.Χ.)
«Η βαθιά μελέτη της φύσης είναι η πιο γόνιμη πηγή της μαθηματικής ανακάλυψης»
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)
«Η ουσία των μαθηματικών βρίσκεται στην ελευθερία τους»
Cantor
 |
| Το νέφος του ηφαιστείου Τσαϊτέν στη Χιλή. |
Το νήμα των στοχαστών του απείρου, ως μαθηματικής έννοιας περνάει από τον Πλάτωνα, τον Αριστοτέλη, τον Πρόκλο και βρίσκεται, μετά από τον Δυτικό Μεσαίωνα, στα έργα όλων των μεγάλων μαθηματικών.
Ο Πλάτωνας περιγράφει το Πραγματικό Αντικείμενο και την Μίμηση του Αντικειμένου -τέχνη της αναπαράστασης- ως βαθμίδες έκφρασης της Ιδέας. Μέσα από τους λόγους του διαφαίνεται μιά αυτο-ομοιότητα -ή αυτό που ο ίδιος ονομάζει αναλογία- μεταξύ όλων των πραγμάτων και εννοιών, από το Ιδεατό στο Πραγματικό και από εκεί σε πολλές βαθμίδες Μίμησης. Ο Αριστοτέλης, στη φιλοσοφία του Γένους, του Είδους και του Ατόμου περιγράφει την αυτο-ομοιότητα χρησιμοποιώντας τον όρο "Ενδελέχεια", που είναι η ιδιότητα των ατόμων να είναι εκφράσεις του είδους. Το κάθε άτομο έχει ενδελέχεια με το είδος του, δηλαδή ένα είδος καταγωγής ή συγγένειας που μπορεί να προσδιορισθεί και σαν ομοιότητα.
Η έννοια της αυτοομοιότητας (όμοιον προς εαυτόν) είναι στενά συνδεδεμένη με την Γεωμετρία. Οι απεικονίσεις της φύσης φυσικό είναι να μας παρουσιάζουν αυτοόμοια μοτίβα, μια και οι ίδιες οι μορφές που η φύση παράγει είναι στην πλειονότητα fractals.
Το fractal (μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) μπορεί γενικά να οριστεί ένα γεωμετρικό σχήμα το οποίο χαρακτηρίζεται από τη δυνατότητα κατάτμησης του σε μικρότερα μέρη τα οποία τουλάχιστον προσεγγιστικά, αποτελούν μικρογραφίες του αρχικού σχήματος. Χαρακτηριστικό επομένως των fractals είναι η λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.
Ο όρος fractal, που προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus (σπασμένο, κατατμημένο) εισήχθη το 1975 από τον μαθηματικό Benoit Mandelbrot.
Οι τυπικές ιδιότητες οι οποίες χαρακτηρίζουν τα fractals είναι:
- Λεπτομερής δομή σε τυχαία μικρές κλίμακες
- Oι μορφές τους είναι τόσο ακανόνιστες που δεν επιδέχονται τυπική Ευκλείδεια περιγραφή
- Χαρακτηρίζονται από αυτο-ομοιότητα
- Έχουν απλό ορισμό συχνά μέσω επαγωγικών σχέσεων
Τα αντικείμενα μελέτης της γεωμετρίας fractal δεν αποτελούν γεωμετρικά σχήματα με τη στενή έννοια του όρου. Δεν πρόκειται δηλαδή αποκλειστικά για συστήματα τα οποία έχουν το ανάλογο τους μόνο στη χωρική έννοια του φυσικού κόσμου, αλλά πρώτιστα για μαθηματικές οντότητες.
fractal απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως εκείνα που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα fractals στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.
Η γεωμετρία fractal δεν πήρε τυχαία το όνομα «γεωμετρία της φύσης». Άλλωστε η Γεωμετρία και η Αισθητική είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με τον πολιτισμό μας.
Αν θα υπήρχε κάποιος που θα απολάμβανε όλο αυτό το θόρυβο γύρω από τα fractals, σίγουρα θα ήταν ο Leonardo Da Vinci. Ας μην ξεχνάμε ότι γι’ αυτόν Μαθηματικά και Ζωγραφική ήταν απόλυτα συνυφασμένες δραστηριότητες.
«Το να βλέπεις είναι να μαθαίνεις», έλεγε και το ζητούμενο ήταν να μάθει κανείς να βλέπει, για να μάθει να μαθαίνει.
fractal απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως εκείνα που προκύπτουν από μαθηματικές σχέσεις. Ως παραδείγματα fractals στη φύση, αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων αγγείων.
Η γεωμετρία fractal δεν πήρε τυχαία το όνομα «γεωμετρία της φύσης». Άλλωστε η Γεωμετρία και η Αισθητική είναι άρρηκτα συνδεδεμένες με τον πολιτισμό μας.
Αν θα υπήρχε κάποιος που θα απολάμβανε όλο αυτό το θόρυβο γύρω από τα fractals, σίγουρα θα ήταν ο Leonardo Da Vinci. Ας μην ξεχνάμε ότι γι’ αυτόν Μαθηματικά και Ζωγραφική ήταν απόλυτα συνυφασμένες δραστηριότητες.
«Το να βλέπεις είναι να μαθαίνεις», έλεγε και το ζητούμενο ήταν να μάθει κανείς να βλέπει, για να μάθει να μαθαίνει.
Η αίγλη της Κβαντομηχανικής, της Σχετικότητας και, τελευταία, της χαοτικής Δυναμικής και των fractals ίσως προέρχεται εν μέρει και από το γεγονός ότι προκαλούν την «κοινή λογική» μας, αλλά παρόλα αυτά φέρουν αποτελέσματα εκεί που η εμπειρία μας συγκρούεται, αντιφάσκει με την λογική μας. Αυτός ίσως είναι και ο λόγος για τον οποίο προκαλούν τέτοιο δεος στον «αμύητο».
Tα δυσθεώρητα ύψη του «μαθηματικώς σκέπτεσθαι» παραμένουν δυσθεώρητα γι’ αυτούς που δεν ενδιαφέρονται για αναρριχήσεις.
Ελλήνων Νίκη
Bιβλιογραφία:
Γνωριμία με τον κόσμο των Fractals.
Βασίλης Μπάσιος – Ι. Αδαμόπουλος
Εκδόσεις Αnubis
«Ο καθρέφτης μέσα στον καθρέφτη»: αυτο-ομοιότητα και ερμηνεία του κόσμου.
http://www.esoterica.gr/articles/contributions/sciences/selfsimilar/selfsimilar.htm
Η τέχνη στη σκέψη του Πλάτωνα και του Αριστοτέλη.
Οι θεωρίες τους για την μίμηση.
Τμήμα Φιλοσοφίας και Παιδαγωγικής
http://invenio.lib.auth.gr/record/126332/files/GRI-2011-6544.pdf?version=1
Fractals παντού και πάντα!
http://www.islab.demokritos.gr/gr/html/parousiaseis/fractals/index.html
Περισκόπιο της Επιστήμης
http://thesecretrealtruth.blogspot.com/2011/10/blog-post_1697.html
Γνωριμία με τα Φράκταλς.
Πρόταση διδασκαλίας τους στην δευτεροβάθμια εκπαίδευση.
http://mathslife.eled.uowm.gr/sites/default/files/usersfiles/ .pdf
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου